En parabel er en graf over en kvadratisk funksjon, og den er en jevn "U" -formet kurve. Paraboler er også symmetriske, noe som betyr at de kan brettes langs en linje slik at alle punktene på den ene siden av foldelinjen sammenfaller med de tilsvarende punktene på den andre siden av foldelinjen. Brettelinjen, kalt symmetriaksen, er den vertikale linjen som går gjennom verex. Et hvilket som helst punkt på parabolen er like langt fra et fast punkt (fokus) og en fast rett linje (directrix). For å tegne en parabel, må du finne dens toppunkt samt flere punkter på hver side av toppunktet for å markere banen som punktene beveger seg.
Trinn
Del 1 av 2: Tegning av en parabel
Trinn 1. Forstå delene av en parabel
Du kan bli gitt viss informasjon før du begynner, og å kjenne til terminologien vil hjelpe deg med å unngå unødvendige trinn. Her er delene av parabolen du trenger å vite:
- Fokuset. Et fast punkt på det indre av parabolen som brukes til den formelle definisjonen av kurven.
- Directrix. En fast, rett linje. Parabolen er stedet (serien) av punkter der et gitt punkt er like langt fra fokuset og direktefeltet. (Se diagrammet ovenfor.)
- Symmetriaksen. Dette er en rett linje som går gjennom parabolens vendepunkt ("toppunkt") og er like langt fra tilsvarende punkter på parabelens to armer.
- Toppunktet. Punktet der symmetriaksen krysser parabelen kalles parabelens toppunkt. Hvis parabolen åpner oppover eller til høyre, er toppunktet et minimumspunkt i kurven. Hvis den åpner nedover eller til venstre, er toppunktet et maksimumspunkt.
Trinn 2. Kjenn ligningen til en parabel
Den generelle ligningen for en parabel er y = ax2+ bx + c. Det kan også skrives i den enda mer generelle formen y = a (x - h) ² + k, men vi vil her fokusere på den første formen av ligningen.
- Hvis koeffisienten a i ligningen er positiv, åpner parabolen seg oppover (i en vertikalt orientert parabel), som bokstaven "U", og dens toppunkt er et minimumspunkt. Hvis a er negativ, åpner parabolen seg nedover og har et toppunkt på sitt maksimale punkt. Hvis du har problemer med å huske dette, tenk på det på denne måten: en ligning med en positiv verdi ser ut som et smil; en ligning med en negativ en verdi ser ut som en rynket panne.
- La oss si at du har følgende ligning: y = 2x2 -1. Denne parabolen vil bli formet som en "U" fordi a -verdien (2) er positiv.
- Hvis ligningen har et kvadrat y -uttrykk i stedet for et kvadrat x -uttrykk, vil parabolen orienteres horisontalt og åpne sidelengs, til høyre eller venstre, som et "C" eller et bakover "C." For eksempel parabolen y2 = x + 3 åpnes til høyre, som et "C."
Trinn 3. Finn symmetriaksen
Husk at symmetriaksen er den rette linjen som går gjennom parabelens vendepunkt (toppunkt). Når det gjelder en vertikal parabel (åpner seg opp eller ned), er aksen den samme som x-koordinaten til toppunktet, som er x-verdien til punktet der symmetriaksen krysser parabolen. For å finne symmetriaksen, bruk denne formelen: x = -b/2a.
- I eksemplet ovenfor (y = 2x² -1), a = 2 og b = 0. Nå kan du beregne symmetriaksen ved å plugge inn tallene: x = -0 / (2) (2) = 0.
- I dette tilfellet er symmetriaksen x = 0 (som er y-aksen til koordinatplanet).
Trinn 4. Finn toppunktet
Når du kjenner symmetriaksen, kan du koble verdien til x for å få y -koordinaten. Disse to koordinatene gir deg toppunktet til parabolen. I dette tilfellet vil du koble 0 til 2x2 -1 for å få y -koordinaten. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Toppunktet er (0, -1), og parabolen krysser y -aksen ved -1.
Koordinatene til toppunktet er noen ganger kjent som (h, k). I dette tilfellet er h 0, og k er -1. Ligningen for parabolen kan skrives i formen y = a (x - h) ² + k. I denne formen er toppunktet punktet (h, k), og du trenger ikke gjøre noen matte for å finne toppunktet utover å tolke grafen riktig
Trinn 5. Sett opp en tabell med valgte verdier på x
Lag en tabell med bestemte verdier på x i den første kolonnen. Denne tabellen gir deg koordinatene du trenger for å tegne ligningen.
- Den midterste verdien av x skal være symmetriaksen ved en "vertikal" parabel.
- Du bør inkludere minst to verdier over og under den midterste verdien for x i tabellen av hensyn til symmetrien.
- I dette eksemplet, sett verdien av symmetriaksen (x = 0) i midten av tabellen.
Trinn 6. Beregn verdiene til tilsvarende y-koordinater
Erstatt hver verdi på x i parabelens ligning, og beregne de tilsvarende verdiene til y. Sett inn disse beregnede verdiene av y i tabellen. I dette eksemplet beregnes verdiene til y som følger:
- For x = -2 beregnes y som: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- For x = -1 beregnes y som: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- For x = 0 beregnes y som: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- For x = 1 beregnes y som: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- For x = 2 beregnes y som: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Trinn 7. Sett inn de beregnede verdiene av y i tabellen
Nå som du har funnet minst fem koordinatpar for parabolen, er du nesten klar til å tegne den. Basert på arbeidet ditt har du nå følgende punkter: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Husk at parabolen reflekteres (symmetrisk) i forhold til symmetriaksen. Dette betyr at y -koordinatene til punkter rett over symmetriaksen fra hverandre vil være de samme. Y-koordinatene for x-koordinatene -2 og +2 er begge 7; y-koordinatene for x-koordinatene -1 og +1 er begge 1, og så videre.
Trinn 8. Plott tabellpunktene på koordinatplanet
Hver rad i tabellen danner et koordinatpar (x, y) på koordinatplanet. Graf alle punkter ved å bruke koordinatene i tabellen.
- X-aksen er horisontal; y-aksen er vertikal.
- De positive tallene på y-aksen er over punktet (0, 0), og de negative tallene på y-aksen er under punktet (0, 0).
- De positive tallene på x-aksen er til høyre for punktet (0, 0), og de negative tallene på x-aksen er til venstre for punktet (0, 0).
Trinn 9. Koble sammen punktene
For å tegne parabolen, koble til punktene som er plottet i forrige trinn. Grafen i dette eksemplet vil se ut som et U. Koble punktene med litt buede (snarere enn rette) linjer. Dette vil skape det mest nøyaktige bildet av parabolen (som er minst svakt buet i hele lengden). I begge ender av parabolen kan du tegne piler som peker bort fra toppunktet hvis du vil. Dette vil indikere at parabolen fortsetter på ubestemt tid.
Del 2 av 2: Skifte grafen til en parabel
Hvis du vil ha en snarvei for å flytte en parabel, uten å måtte finne toppunktet igjen og plotte flere punkter på den igjen, må du forstå hvordan du leser ligningen til en parabel og lære å forskyve den vertikalt eller horisontalt. Start med den grunnleggende parabelen: y = x2. Dette har sitt toppunkt på (0, 0) og åpner oppover. Poeng på den inkluderer (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) og (2, 4). Du kan flytte en parabel basert på ligningen.
Trinn 1. Skyv en parabel oppover
Vurder ligningen y = x2 +1. Dette forskyver den opprinnelige parabolen oppover 1 enhet. Toppunktet er nå (0, 1) i stedet for (0, 0). Den vil beholde den eksakte formen på den originale parabolen, men hver y-koordinat vil forskyves oppover 1 enhet. Så, i stedet for (-1, 1) og (1, 1), plotter vi (-1, 2) og (1, 2).
Trinn 2. Skyv en parabel nedover
Ta ligningen y = x2 -1. Vi flytter den opprinnelige parabolen nedover 1 enhet, slik at toppunktet nå er (0, -1) i stedet for (0, 0). Den vil fortsatt ha samme form som den originale parabolen, men hver y-koordinat vil bli forskjøvet nedover 1 enhet. Så i stedet for (-1, 1) og (1, 1) plotter vi for eksempel (-1, 0) og (1, 0).
Trinn 3. Flytt en parabel til venstre
Vurder ligningen y = (x + 1)2. Dette flytter den originale parabolen en enhet til venstre. Toppunktet er nå (-1, 0) i stedet for (0, 0). Den beholder formen på den originale parabolen, men hver x-koordinat flyttes til den ene enheten til venstre. I stedet for (-1, 1) og (1, 1) plotter vi for eksempel (-2, 1) og (0, 1).
Trinn 4. Flytt en parabel til høyre
Vurder ligningen y = (x - 1)2. Dette er den originale parabolen som flyttes en enhet til høyre. Toppunktet er nå (1, 0) i stedet for (0, 0). Den beholder formen på den originale parabolen, men hver x-koordinat vil bli flyttet til den høyre enheten. I stedet for (-1, 1) og (1, 1) plotter vi for eksempel (0, 1) og (2, 1).
