En rasjonell funksjon er en ligning som har formen y = N (x)/D (x) hvor N og D er polynom. Forsøk på å skissere en nøyaktig graf for en for hånd kan være en omfattende gjennomgang av mange av de viktigste matematikkemnene fra videregående skole fra grunnleggende algebra til differensialberegning. Vurder følgende eksempel: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Trinn
Trinn 1. Finn y -avskjæringen
Bare sett x = 0. Alt annet enn de konstante begrepene forsvinner og y = 5/2. Å uttrykke dette som et koordinatpar, (0, 5/2) er et punkt på grafen. Graf det punktet.
Trinn 2. Finn den horisontale asymptoten
Del lenge nevneren i telleren for å bestemme oppførselen til y for store absolutte verdier på x. I dette eksemplet viser divisjon at y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). For store positive eller negative verdier av x, nærmer 17/(8 x + 4) seg null, og grafen tilnærmer linjen y = (1/2) x - (7/4). Bruk en stiplet eller lett tegnet linje, graf denne linjen.
- Hvis tellerens grad er mindre enn nevneren, er det ingen divisjon å gjøre, og asymptoten er y = 0.
- Hvis deg (N) = deg (D), er asymptoten en horisontal linje i forholdet mellom de ledende koeffisientene.
- Hvis deg (N) = deg (D) + 1, er asymptoten en linje hvis stigning er forholdet mellom de ledende koeffisientene.
- Hvis deg (N)> deg (D) + 1, så for store verdier av | x |, y går raskt til positiv eller negativ uendelighet som et kvadratisk, kubisk eller høyere grad polynom. I dette tilfellet er det sannsynligvis ikke verdt å nøyaktig tegne kvoten for divisjonen.
Trinn 3. Finn nullene
En rasjonell funksjon har en null når telleren er null, så sett N (x) = 0. I eksemplet er 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminanten av denne kvadraten er b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Siden diskriminanten er negativ, har N (x), og følgelig f (x), ingen reelle røtter. Grafen krysser aldri x -aksen. Hvis det ble funnet noen nuller, legg til disse punktene i grafen.
Trinn 4. Finn de vertikale asymptotene
En vertikal asymptote oppstår når nevneren er null. Innstilling 4 x + 2 = 0 gir den vertikale linjen x = -1/2. Graf hver vertikal asymptote med en lys eller stiplet linje. Hvis en verdi på x utgjør både N (x) = 0 og D (x) = 0, kan det være en vertikal asymptote der eller ikke. Dette er sjelden, men se tipsene for hvordan du skal håndtere det hvis det oppstår.
Trinn 5. Se på resten av divisjonen i trinn 2
Når er det positivt, negativt eller null? I eksemplet er telleren for resten 17 som alltid er positiv. Nevneren, 4 x + 2, er positiv til høyre for den vertikale asymptoten og negativ til venstre. Dette betyr at grafen nærmer seg den lineære asymptoten fra ovenstående for store positive verdier av x og nedenfra for store negative verdier av x. Siden 17/(8 x + 4) aldri kan være null, skjærer denne grafen aldri linjen y = (1/2) x - (7/4). Ikke legg til noe i grafen akkurat nå, men legg merke til disse konklusjonene for senere.
Trinn 6. Finn det lokale ekstremet
Et lokalt ekstremum kan oppstå når N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. I eksemplet er N '(x) = 4 x - 6 og D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Utvide, kombinere termer og dividere med 4 blader x 2 + x - 4 = 0. Den kvadratiske formelen viser røtter nær x = 3/2 og x = -5/2. (Disse skiller seg omtrent 0,06 fra de eksakte verdiene, men grafen vår kommer ikke til å være presis nok til å bekymre deg for detaljnivået. Å velge en anstendig rasjonell tilnærming gjør det neste trinnet enklere.)
Trinn 7. Finn y -verdiene for hvert lokalt ekstremum
Plugg x -verdiene fra forrige trinn tilbake til den opprinnelige rasjonelle funksjonen for å finne de tilsvarende y -verdiene. I eksemplet er f (3/2) = 1/16 og f (-5/2) = -65/16. Legg til disse punktene (3/2, 1/16) og (-5/2, -65/16) i grafen. Siden vi tilnærmet oss i forrige trinn, er dette ikke de eksakte minima og maksima, men er sannsynligvis nær. (Vi vet (3/2, 1/16) er veldig nær det lokale minimumet. Fra trinn 3 vet vi at y alltid er positivt når x> -1/2 og vi fant en verdi så liten som 1/16, så i hvert fall i dette tilfellet er feilen sannsynligvis mindre enn tykkelsen på linjen.)
Trinn 8. Koble til prikkene og utvid grafen jevnt fra de kjente punktene til asymptotene, og pass på å nærme dem fra riktig retning
Pass på at du ikke krysser x -aksen, bortsett fra på punktene som allerede er funnet i trinn 3. Ikke kryss den horisontale eller lineære asymptoten bortsett fra punktene som allerede er funnet i trinn 5. Ikke bytt fra skrå oppover til nedover skråning bortsett fra kl. det ekstreme funnet i forrige trinn.
Video - Ved å bruke denne tjenesten kan noe informasjon bli delt med YouTube
Tips
- Noen av disse trinnene kan innebære å løse et polynom i høy grad. Hvis du ikke kan finne eksakte løsninger gjennom faktorisering, formler eller andre midler, kan du estimere løsningene ved hjelp av numeriske teknikker som Newtons metode.
- Hvis du følger trinnene i rekkefølge, er det vanligvis ikke nødvendig å bruke andre derivattester eller lignende potensielt kompliserte metoder for å avgjøre om de kritiske verdiene er lokale maksima, lokale minima eller ingen av dem. Prøv å bruke informasjonen fra tidligere trinn og litt logikk først.
- Hvis du prøver å gjøre dette med bare precalculus -metoder, kan du erstatte trinnene for å finne det lokale ekstremet ved å beregne flere ekstra (x, y) ordnede par mellom hvert par asymptoter. Alternativt, hvis du ikke bryr deg om hvorfor det fungerer, er det ingen grunn til at en precalculus -student ikke kan ta derivatet av et polynom og løse N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
I sjeldne tilfeller kan teller og nevner ha en felles ikke -konstant faktor. Hvis du følger trinnene, vises dette som en null og en vertikal asymptote på samme sted. Det er umulig, og det som faktisk skjer er ett av følgende:
- Nullpunktet i N (x) har høyere multiplisitet enn null i D (x). Grafen til f (x) nærmer seg null på dette punktet, men er udefinert der. Angi dette med en åpen sirkel rundt punktet.
- Nullpunktet i N (x) og null i D (x) har like stor mangfold. Grafen nærmer seg et ikke-nullpunkt for denne verdien av x, men er udefinert der. Angi dette igjen med en åpen sirkel.
- Nullpunktet i N (x) har lavere multiplisitet enn null i D (x). Det er en vertikal asymptote her.
