Hvordan tegne en kvadratisk ligning: 10 trinn (med bilder)

2024 Forfatter: Robert Blare | [email protected]. Sist endret: 2024-02-02 02:08

Når det er grafisk, kvadratiske ligninger av skjemaet øks² + bx + c eller a (x - h)² + k gi en glatt U-formet eller en omvendt U-formet kurve kalt en parabel. Å tegne en kvadratisk ligning handler om å finne toppunktet, retningen og ofte dens x- og y -avskjæringer. I tilfeller av relativt enkle kvadratiske ligninger kan det også være nok å koble til et område med x -verdier og plotte en kurve basert på de resulterende punktene. Se trinn 1 nedenfor for å komme i gang.

Trinn

Trinn 1. Bestem hvilken form for kvadratisk ligning du har

Den kvadratiske ligningen kan skrives i tre forskjellige former: standardformen, toppunktformen og den kvadratiske formen. Du kan bruke begge skjemaene til å tegne en kvadratisk ligning; prosessen for å tegne hver er litt annerledes. Hvis du gjør et lekseproblem, mottar du vanligvis problemet i en av disse to formene - med andre ord vil du ikke kunne velge, så det er best å forstå begge deler. De to formene for kvadratisk ligning er:

• Standard skjema.

  I denne formen skrives den kvadratiske ligningen som: f (x) = ax² + bx + c hvor a, b og c er reelle tall og a ikke er lik null.

  For eksempel er to standardformkvadratiske ligninger f (x) = x² + 2x + 1 og f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex form.

  I denne formen skrives den kvadratiske ligningen som: f (x) = a (x - h)² + k hvor a, h og k er reelle tall og a er ikke lik null. Vertex -form er så navngitt fordi h og k direkte gir deg toppunktet (sentralpunktet) til parabolen din på punktet (h, k).

  To toppunktformlikninger er f (x) = 9 (x - 4)² + 18 og -3 (x - 5)² + 1

• For å tegne en av disse ligningstypene må vi først finne toppunktet til parabolen, som er det sentrale punktet (h, k) ved "spissen" av kurven. Koordinatene til toppunktet i standardform er gitt av: h = -b/2a og k = f (h), mens i toppunktform er h og k spesifisert i ligningen.

Trinn 2. Definer variablene dine

For å kunne løse et kvadratisk problem må variablene a, b og c (eller a, h og k) vanligvis defineres. Et gjennomsnittlig algebraproblem vil gi deg en kvadratisk ligning med variablene som er fylt ut, vanligvis i standardform, men noen ganger i toppunktform.

• For eksempel, for standardformelningen f (x) = 2x² + 16x + 39, vi har a = 2, b = 16 og c = 39.
• For toppunktformen ligning f (x) = 4 (x - 5)² + 12, vi har a = 4, h = 5 og k = 12.

Trinn 3. Beregn h

I toppunktformlikninger er verdien din for h allerede gitt, men i standardformuleringer må den beregnes. Husk at for standard formlikninger, h = -b/2a.

• I vårt standardskjemaeksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Når vi løser, finner vi at h = - 4.
• I vårt toppunktformeksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vet vi h = 5 uten å gjøre noen matte.

Trinn 4. Beregn k

Som med h, er k allerede kjent i toppunktformlikninger. For standard formlikninger, husk at k = f (h). Med andre ord kan du finne k ved å erstatte hver forekomst av x i ligningen din med verdien du nettopp fant for h.

• Vi har i vårt standardformeksempel bestemt at h = -4. For å finne k, løser vi vår ligning med vår verdi for h som erstatter x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Trinn 7.

• I vårt eksempel på toppunktet kjenner vi igjen verdien av k (som er 12) uten å måtte gjøre noen matematikk.

Trinn 5. Plott toppunktet

Toppunktet på parabelen din vil være punktet (h, k) - h angir x -koordinaten, mens k angir y -koordinaten. Toppunktet er det sentrale punktet i parabolen din - enten helt nederst på et "U" eller toppen av et "U" opp -ned. Å kjenne toppunktet er en vesentlig del av å tegne en nøyaktig parabel - ofte i skolearbeid vil det være en nødvendig del av et spørsmål å spesifisere toppunktet.

• I vårt standardformeksempel vil toppunktet vårt være på (-4, 7). Så vil parabolen vår ha topp 4 mellomrom til venstre for 0 og 7 mellomrom ovenfor (0, 0). Vi bør plotte dette punktet på grafen vår, og sørg for å merke koordinater.
• I vårt eksempel på toppunktet er toppunktet vårt på (5, 12). Vi bør plotte et punkt 5 mellomrom til høyre og 12 mellomrom over (0, 0).

Trinn 6. Tegn parabolens akse (valgfritt)

En parabols symmetriakse er linjen som går gjennom midten som deler den perfekt i to. På tvers av denne aksen vil venstre side av parabolen speile høyre side. For kvadratikk av formen øks² + bx + c eller a (x - h)² + k, aksen er en linje parallell med y-aksen (med andre ord perfekt vertikal) og går gjennom toppunktet.

Når det gjelder vårt standardformeksempel, er aksen en linje parallell med y-aksen og går gjennom punktet (-4, 7). Selv om det ikke er en del av selve parabolen, kan lett markering av denne linjen på grafen til slutt hjelpe deg med å se hvordan parabolen kurver symmetrisk

Trinn 7. Finn åpningsretningen

Etter å ha funnet ut toppunktet og aksen til parabolen, må vi deretter vite om parabolen åpner oppover eller nedover. Heldigvis er dette enkelt. Hvis "a" er positivt, åpnes parabolen oppover, mens hvis "a" er negativ, åpnes parabolen nedover (dvs. den blir snudd opp ned.)

• For vårt standardskjemaeksempel (f (x) = 2x² + 16x + 39), vet vi at vi har en parabel som åpner seg oppover fordi a = 2 (positiv) i ligningen vår.
• For vårt toppunktformeksempel (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), vi vet at vi også har en parabel som åpner oppover fordi a = 4 (positiv).

Trinn 8. Finn og plott x avskjæringer om nødvendig

Ofte, på skolearbeid, blir du bedt om å finne en parabols x-avskjæringer (som enten er ett eller to punkter der parabolen møter x-aksen). Selv om du ikke finner dem, kan disse to punktene være uvurderlige for å tegne en nøyaktig parabel. Imidlertid har ikke alle parabolene x-avskjæringer. Hvis parabolen din har et toppunkt som åpner seg oppover og har et toppunkt over x -aksen, eller hvis det åpner nedover og har et toppunkt under x -aksen, den vil ikke ha noen x avskjæringer. Ellers kan du løse dine x -avskjæringer med en av følgende metoder:

• Bare sett f (x) = 0 og løse ligningen. Denne metoden kan fungere for enkle kvadratiske ligninger, spesielt i toppunktform, men vil vise seg ekstremt vanskelig for mer kompliserte. Se et eksempel nedenfor

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 og 13 er parabelens x-avskjæringer.

• Faktor ligningen din. Noen likninger i øksen² + bx + c -skjema kan enkelt regnes inn i skjemaet (dx + e) (fx + g), hvor dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, og e × g = c. I dette tilfellet er dine x -avskjæringer verdiene for x som utgjør et vilkår i parentes = 0. For eksempel:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • I dette tilfellet er den eneste x -avskjæringen -1 fordi innstilling x lik -1 vil gjøre et av de faktoriserte uttrykkene i parentes lik 0.

• Bruk den kvadratiske formelen. Hvis du ikke lett kan løse for x -avskjæringer eller faktorisere ligningen din, kan du bruke en spesiell ligning som kalles kvadratisk formel designet for dette formålet. Hvis det ikke allerede er det, legg ligningen inn i formøksen² + bx + c, plugg deretter a, b og c inn i formelen x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Vær oppmerksom på at dette ofte gir deg to svar for x, noe som er OK - dette betyr bare at parabolen din har to x avskjæringer. Se et eksempel nedenfor:

  • -5x² + 1x + 10 kobles til den kvadratiske formelen som følger:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) og (-15,18/-10). Parabelens x avskjæringer er omtrent x = - 1.318 og 1.518
  • Vårt tidligere standardformeksempel, 2x² + 16x + 39 kobles til den kvadratiske formelen som følger:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Fordi det er umulig å finne kvadratroten til et negativt tall, vet vi det ingen x avlytter finnes for denne parabolen.

Trinn 9. Om nødvendig, finn og plott y -avskjæringen

Selv om det ofte ikke er nødvendig å finne en lignings y -skjæringspunkt (punktet der parabolen passerer gjennom y -aksen), kan du til slutt bli pålagt det, spesielt hvis du er på skolen. Denne prosessen er ganske enkel - bare sett x = 0, deretter løser du ligningen for f (x) eller y, som gir deg y -verdien som parabolen din passerer gjennom y -aksen. I motsetning til x avskjæringer, kan standard paraboler bare ha en y avskjæring. Merk - for standard formlikninger er y -avskjæringen på y = c.

• For eksempel kjenner vi vår kvadratiske ligning 2x² + 16x + 39 har et y -skjæringspunkt ved y = 39, men det kan også bli funnet som følger:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Parabelens y -skjæringspunkt er på y = 39.

    Som nevnt ovenfor er y -avskjæringen på y = c.

• Vår toppunkt form ligning 4 (x - 5)² + 12 har et y -skjæringspunkt som kan bli funnet som følger:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Parabolens y -skjæringspunkt er på y = 112.

Trinn 10. Plott om nødvendig flere punkter, og graf deretter

Du bør nå ha et toppunkt, retning, x skjæringspunkt (er), og muligens et y -skjæringspunkt for ligningen din. På dette tidspunktet kan du enten prøve å tegne parabolen din ved å bruke punktene du har som retningslinje, eller du kan finne flere punkter for å "fylle ut" parabolen din slik at kurven du tegner blir mer nøyaktig. Den enkleste måten å gjøre dette på er ganske enkelt å koble til noen få x -verdier på hver side av toppunktet, og deretter plotte disse punktene ved å bruke y -verdiene du får. Ofte vil lærere kreve at du får et visst antall poeng før du tegner parabolen din.

• La oss gå tilbake til ligningen x² + 2x + 1. Vi vet allerede at det eneste x -skjæringspunktet er x = -1. Fordi den bare berører x-skjæringspunktet på et punkt, kan vi slutte at toppunktet er dets x-skjæringspunkt, noe som betyr at toppunktet er (-1, 0). Vi har faktisk bare ett poeng for denne parabolen - ikke nær nok til å tegne en god parabel. La oss finne noen flere for å sikre at vi tegner en nøyaktig graf.

  • La oss finne y -verdiene for følgende x -verdier: 0, 1, -2 og -3.
  • For 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Poenget vårt er (0, 1).

  • For 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Poenget vårt er (1, 4).

  • For -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Poenget vårt er (-2, 1).

  • For -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Poenget vårt er (-3, 4).

  • Plott disse punktene i grafen og tegn din U-formede kurve. Vær oppmerksom på at parabolen er perfekt symmetrisk - når punktene på den ene siden av parabolen ligger på hele tall, kan du vanligvis spare deg for litt arbeid ved ganske enkelt å reflektere et gitt punkt over parabelens symmetriakse for å finne det tilsvarende punktet på den andre siden av parabolen.

Video - Ved å bruke denne tjenesten kan noe informasjon bli delt med YouTube

Tips

• Legg merke til at i f (x) = ax² + bx + c, hvis b eller c er lik null, forsvinner disse tallene. For eksempel 12x² + 0x + 6 blir 12x² + 6 fordi 0x er 0.
• Rund tall eller bruk brøk som algebra -læreren din forteller deg. Dette vil hjelpe deg med å tegne de kvadratiske ligningene dine riktig.